MYSQL como setear un campo con el valor de una tabla relacionada

en este ejemplo tengo una relacion recursiva de la tabla items
donde la columna parent_id hace referencia al id de algun registro de la misma tabla.

Lo que queria es setear el campo name de los hijos con el mismo name del padre, entonces:

UPDATE items i INNER JOIN items p
    ON i.parent_id = p.id
SET i.name = p.name